Transcription

[286 r] Ce 15 X.bre.

Je suis charmé, mon cher et illustre Confrere, que vous n’ayez point perdu sur vos lettres de change, <par [?] ce [?] que [?]> <[... ?]> car les operations de la banque sont <[... ?]> vraisemblablement la seule branche de calcul à laquelle vous nayez point faire^{1Lire fait.} faire quelque progrès.

M. de Fouchi m’a promis un récipissé [sic] de la piece des cometes à laquelle vous vous intéressés, l’auteur ne doit d’ailleurs avoir aucune inquiétude. Je n’ai pu lire encore qu’une partie de cet ouvrage, la méthode m’a paru bien élégante et bien simple, et je suis persuadé qu’appliquée par des mains habiles à une comete en particulier elle donnerait des résultats très exacts <, j’ai>.

J’ai cherché la démonstration de la premiere des deux formules que vous avez bien voulu m’envoier voici ce que j’ai trouvé. Je serai fort aise de savoir si vous êtes content de ma méthode et si elle a quelque rapport a la votre rien ne pourrait être [286 v] plus glorieux pour moi que cette ressemblance.

Soit donc $\int {\displaystyle \frac{x^m}{\ell x}}{\displaystyle \frac{\partial x}{x}}$ donc^{2Lire dont.} on cherche |la| valeur depuis $x=0$ jusqu’à $x=1$. J’ai en géneral

$\int {\displaystyle \frac{x{}^m}{\ell x}}{\displaystyle \frac{\partial x}{x}}=x{}^m\cdot {\displaystyle \frac{1}{m\ell x}}+{\displaystyle \frac{1}{m{}^2\ell x{}^2}}+{\displaystyle \frac{2}{m{}^3\ell x{}^3}}+{\displaystyle \frac{2\cdot 3}{m{}^4\ell x{}^4}}$ &c.

ainsi <d> sa valeur depuis $x=X$ jusqu’à $x=X\text{'}$ sera

$$\begin{gathered} X^{\text{'}}{}^m\cdot {\displaystyle \frac{1}{m\ell X^{\text{'}}}}+{\displaystyle \frac{1}{m{}^2\ell X^{\text{'}}{}^2}}+{\displaystyle \frac{2}{m{}^3\ell X^{\text{'}}{}^3}}+{\displaystyle \frac{2\cdot 3}{m{}^4\ell X^{\text{'}}{}^4}}\text{\&c.} \\ -X{}^m\cdot {\displaystyle \frac{1}{m\ell X}}+{\displaystyle \frac{1}{m{}^2\ell X{}^2}}+{\displaystyle \frac{2}{m{}^3\ell X{}^3}}+{\displaystyle \frac{2\cdot 3}{m{}^4\ell X{}^4}}\text{\&c.} \end{gathered}$$

Pour trouver maintenant la valeur de cette serie en $m$, je la differentie et la difference devient

$X^{\text{'}}{}^m\cdot \frac{\partial m}{m}+\frac{\partial m}{m{}^2\ell X^{\text{'}}}+\frac{2\partial m}{m{}^3\ell X^{\text{'}}{}^2}+\frac{2\cdot 3\cdot \partial m}{m{}^4\ell X^{\text{'}}{}^3}$ &c.

$-\frac{\partial m}{m{}^2\ell X^{\text{'}}}-\frac{2\partial m}{m{}^3\ell X^{\text{'}}{}^2}-\frac{2.3\partial m}{m{}^4\ell X^{\text{'}}{}^3}$ &c.

$-X{}^m.\frac{\partial m}{m}+\frac{\partial m}{m{}^2\ell X}+\frac{2\partial m}{m{}^3\ell X{}^2}+\frac{2\cdot 3\cdot \partial m}{m{}^4\ell X{}^3}$ &[c.]

$\frac{-\partial m}{m{}^2\ell X}-\frac{2\partial m}{m{}^3\ell X{}^2}-\frac{2.3.\partial m}{m{}^4\ell X{}^3}$ &[c.]

$=X^{\text{'}}{}^m-X{}^m\cdot \frac{\partial m}{m}$ en otant ce qui se détruit, mais lorsque $X^{\text{'}}=1$ et $X=0$, $X{\text{'}}^m-X^m=1$ donc alors [287 r] la valeur de $\int {\displaystyle \frac{x{}^m}{\ell x}}{\displaystyle \frac{\partial x}{x}}$ prise depuis $x=0$ jusqu’à $x=1$ est $\int {\displaystyle \frac{\partial m}{m}}=\ell m$,^{3Condorcet oublie ici d’ajouter une constante d’intégration C.} de même $\int {\displaystyle \frac{x{}^n}{\ell x}}{\displaystyle \frac{\partial x}{x}}$ prise entre les mêmes limites est $ln$, et la valeur de $\int {\displaystyle \frac{x{}^m-x{}^n}{\ell x}}{\displaystyle \frac{\partial x}{x}}$ est $\ell {\displaystyle \frac{m}{n}}$, come vous l’avez trouvé.

En general si l’on cherche des valeurs particulieres de $\int \text{Adx}$ ou $A$ contient des coefficiens ou des exposans indeterminés appelant $X$ et $X\text{'}$ les deux valeurs de $x$ entre lesquelles on prend l’intégrale et $Z$, $Z\text{'}$ les valeurs de $A$ <répondantes> corré[s]pondantes à^{4Dans ce qui suit, lire x = X, x = X’.} $x=X^{\text{'}}$, $x=X$, et $m$, $n$ &[c.] les coefficiens ou exposans indéterminés on aura la <valeu> differentielle de la valeur cherchée egale à $dm(\int {\displaystyle \frac{\partial Z^{\text{'}}}{\partial m}}\partial X^{\text{'}}-\int {\displaystyle \frac{\partial Z}{\partial m}}\partial X)+dn(\int {\displaystyle \frac{\partial Z^{\text{'}}}{\partial n}}\partial X^{\text{'}}-\int {\displaystyle \frac{\partial Z}{\partial n}}\partial X)$ &c. et par consequent on aura les intégrales particulieres pour toutes les valeurs de $X^{\text{'}}$ et $X$ ou la differentielle précedente sera intégrable par rapport à $m$, $n$ &c. or il y a plusieurs cas ou l’on peut trouver $\int \frac{\partial Z\text{'}}{\partial m}\partial X\text{'}$ <qui> en termes finis quoique l’on ne puisse pas avoir $\int Z\text{'}\partial X\text{'}$ par exemple nous avons ici <[... ?]> $\int \frac{X\text{'}m}{\mathcal{l}X\text{'} }\frac{\partial X\text{'}}{X\text{'}}$ dont nous ne connaissons pas [287 v] l’intégrale finie au-lieu que <diffentientient> diffentientiant^{5Lire différentiant.} $Z^{\text{'}}$ par rapport à $m$ nous avons <$\int x\text{'} m \frac{\partial x}{x}$> ^{6Dans ce qui suit, lire $\int X^{\text{'}}{}^m{\displaystyle \frac{\partial X^{\text{'}}}{X^{\text{'}}}}={\displaystyle \frac{X^{\text{'}}{}^m}{m}}$.}$\int X^{\text{'}}{}^m{\displaystyle \frac{\partial X}{X}}={\displaystyle \frac{X{}^m}{m}}$ et par consequent $dm\cdot (\int {\displaystyle \frac{\partial Z^{\text{'}}}{\partial m}}\partial X^{\text{'}}-\int {\displaystyle \frac{\partial Z}{\partial m}}\partial X)=X^{\text{'}}{}^m-X{}^m\cdot {\displaystyle \frac{\partial m}{m}}$. Come je l’ai trouvé ci-des[sus]^{7La photographie n’est qu’en partie tronquée : la fin de ce mot est réellement illisible à cause d’une déchirure du papier.} par les séries. |Ainsi toutes les fois que $\ell x$ est denominateur et que $A$ ne contient que des $x^m$, $x^n$, on fera disparaitr[e]^8Idem.$\ell x$.|

Je n’ai pas eu le tems de calculer votre seconde formule mais je crois que la même méthode s’y appliquerait.

Recevez je vous prie, mon cher et illustre Confrere les assurances de mon respect et de mon attachement.

Le M.is de Condorcet

|J’ai achevé la piece des cometes le Theorême qui la termine est très curieux et fait tout esperer de la bonté de la méthode.|