Transcription

[1 r] Je m’empresse, Monsieur, à Vous accuser la réception de la lettre de change, que Vous avés eu la complaisance de négocier en ma faveur, et me faire tenir pour le païement du Prix de Vôtre Illustre Académie : elle m’a valu 434 Roubles de nôtre argent, calculée à 42 $\frac{1}{2}$ stuvers p Rble [i. e. par Rouble] Permettés, Monsieur, que je Vous témoigne en même temps ma vive réconnoissance, tant pour la peine, que Vous avés bien voulu Vous don̄er dans cette affaire, que principalement, pour tout ce que Vous me dites d’obligeant dans la gracieuse lettre, dont Vous m’avés honoré à cette occasion – Vôtre suffrage, Monsieur, sera toujours un de ceux, que j’ambitionnerai le plus, dans tout ce qui est du ressort des sciences mathematiques, auxquelles j’ai consacré ma vie et mes traveaux [sic] ; et quelque peu que j’aie d’esperance de m’approcher jamais de la place éminente, que Vous avés atteint dans la carriére, où je ne fais qu’entrer, je tacherai du moins à meriter les éloges que Vous me prodigués, en me rendant digne du bonheur, de jouir immédiatement des instructions de cet homme illustre et respectable, dont Vous admirés, de concert avec toute la République des Lettres, et le Génie et le Caractère.

[1 v] Le premier Volume de nos nouvelles^{1Lire nouveaux.} Actes Académiques, avec lequel commence, comme Vous scavés, une nouvelle collection, contient l’excellent mêmoire, que Vous avés communiqué à l’Academie, sur la sommation de quelques séries, dont la loix de progression est très remarquable – et il va paroître incessamment. La somme de la première série, que Vous y traités, a donné occasion à Mr Euler à un autre mémoire très interessant sur les formules exponentielles repliquées. Cette branche d’Analyse presque entierement nouvelle ne pourra manquer d’exciter l’attention des Géomètres, vû la grande utilité, qu’on en pourra retirer en plusieurs occasions. Mr Daniel Bernoulli, à qui j’avois parlé dans une de mes lettres de Vôtre mémoire et de celui de Mr Euler, me repondit : Je ne doute pas, que le mémoire de Mr le Marquis de Condorcet, que Vous m’annoncés, ne renferme des découvertes de la plus haute Analyse, d’autant plus que Mr Euler en a pris occasion d’éplucher le même sujet – Il y a quelque temps, que je suis tombé par hazard sur un sujet analogue, en considerant une réplication indéfinie d’une certaine fonction propre aux approximations qu’on se propose.

Mr Euler a été charmé d’apprendre de Vos nouvelles, et il me charge de Vous assurer de sa plus parfaite estime. Ce que Vous marqués de Vos occupations actuelles lui a fait <be> pareillement beaucoup de plaisir et il attend avec impatience, que l’important ouvrage, que Vous lui annoncés sur le Calcul intégral soit publié – Par rapport à la série^{2Le troisième terme de cette série devrait être $\frac{1}{3}l\frac{4.2^3}{3^3}$.} $\ell 2-{\displaystyle \frac{1}{2}}\ell {\displaystyle \frac{3}{2^2}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\ell {\displaystyle \frac{4\cdot 2^2}{3}}-\text{\&c.}$ il crût d’abord |en| avoir traité de semblables dans le Chap. XVI de son calcul différentiel ; mais l’ayant assuré, qu’il n’y en avoit rien de ce genre, il a taché d’en deduire la somme d’une manière semblable à celle dont il a traité les fonctions inexplicables. Voici l’essentiel de sa démonstration, telle qu’il me l’a esquissé aujourd’huy pendant le diner.

[2 r] Soyent pour une série quelconque en général

$\begin{array}{llccccccccl}\text{Les indices:}& & 0,& & 1,& & 2,& & 3,& ...& x\\ \text{Les termes:}& & A,& & B,& & C,& & D,& ...& X\\ \text{Les diff:}& 1^{\text{res}}...& & \Delta A,& & \Delta B,& & \Delta C,& \text{\&c.}& & \\ ...& 2^{\text{es}}...& & & {\Delta }^{2}A,& & {\Delta }^{2}B,& \text{\&c.}& & & \\ ...& 3^{\text{es}}...& & & & {\Delta }^{3}A,& \text{\&c.}& & & & \\ & \text{\&c.}& & & & \text{\&c.}& & & & & \end{array}$

et, parce qu’on scait que $X=A+\Delta Ax+{\Delta }^{2}A{\displaystyle \frac{x(x-1)}{1\cdot 2}}+{\Delta }^{3}A{\displaystyle \frac{x(x-1)(x-2)}{1\cdot 2\cdot 3}}\text{\&c}$ il y aura ${\displaystyle \frac{X-A}{x}}=\Delta A+{\Delta }^{2}A{\displaystyle \frac{(x-1)}{2}}+{\Delta }^{3}A{\displaystyle \frac{(x-1)(x-2)}{2\cdot 3}}+\text{\&c.}$

d’où en mettant $x=0$ on tire la série suivante :

$\Delta A-\frac{1}{2}{\Delta }^{2}A+\frac{1}{3}{\Delta }^{3}A-\frac{1}{4}{\Delta }^{4}A+\frac{1}{5}{\Delta }^{5}A-\text{\&c.}$, dont la somme $={\displaystyle \frac{X-A}{x}}$, en mettant $x=0$ et partant $X=A$, dont on tire pour chaque cas particulier la valeur déterminée suivant les règles connües.

Soit maintenant le terme général $X=\ell (1+x)$ et il y aura

$A=\ell 1$ ; $B=\ell 2$ ; $C=\ell 3$ ; $D=\ell 4$ ; $E=\ell 5$ ; &c. Ensuite

$\Delta A=\ell {\displaystyle \frac{2}{1}}$ ; $\Delta B=\ell {\displaystyle \frac{3}{2}}$ ; $\Delta C=\ell {\displaystyle \frac{4}{3}}$ ; $\Delta D=\ell {\displaystyle \frac{5}{4}}$ ; &c.

${\Delta }^{2}A=\ell {\displaystyle \frac{1\cdot 3}{2^2}}$ ; ${\Delta }^{2}B=\ell {\displaystyle \frac{2\cdot 4}{3^2}}$ ; ${\Delta }^{2}C=\ell {\displaystyle \frac{3\cdot 5}{4^2}}$ ; &c.

${\Delta }^{3}A=\ell {\displaystyle \frac{4\cdot 2^3}{1\cdot 3^3}}$ ; ${\Delta }^{3}B=\ell {\displaystyle \frac{5\cdot 3^3}{2\cdot 4^3}}$ ; &c.

${\Delta }^{4}A=\ell {\displaystyle \frac{1\cdot 3^6\cdot 5}{2^4\cdot 4^4}}$ ; &c.

&c.

et ces valeurs étant substituées donnent la serie proposée

$\ell 2-{\displaystyle \frac{1}{2}}\ell {\displaystyle \frac{1\cdot 3}{2^2}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\ell {\displaystyle \frac{4\cdot 2^3}{1\cdot 3^3}}-{\displaystyle \frac{1}{4}}\ell {\displaystyle \frac{1\cdot 3^6\cdot 5}{2^4\cdot 4^4}}+\text{\&c.}$ &c. dont la somme $={\displaystyle \frac{\ell (1+x)-\ell 1}{x}}$ en mettant $x=0$ et partant $={\displaystyle \frac{\partial x}{(1+x)\partial x}}={\displaystyle \frac{1}{1+x}}=1$.

Cette methode sommatoire, étant générale, on en pourra déduire avec la même facilité une infinité d’autres séries également remarquables.

P. E. [i. e. Par Exemple] pour le cas $X=\ell (1+xx)$ on obtient $\ell 2-{\displaystyle \frac{1}{2}}\ell {\displaystyle \frac{5}{2^2}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\ell {\displaystyle \frac{2^3\cdot 10}{5^3}}-{\displaystyle \frac{1}{4}}\ell {\displaystyle \frac{5^6\cdot 17}{2^4\cdot {10}^4}}+\text{\&c.}=0$

[2 v] Mais une autre sommation des plus remarquables se présente dans le cas $X=\text{Sin}(1+2x)\phi$ ce qui donne la série : $\text{Sin}\phi +\text{Sin}3\phi +\text{Sin}5\phi +\text{Sin}7\phi +\text{\&c.}$ dont les différences sont

Les 1.res... $+2\text{Sin}\phi (\text{Cos}2\phi +\text{Cos}4\phi +\text{Cos}6\phi +\text{Cos}8\phi +\text{\&c.})$ .

Les 2.des... $-4\text{Sin}\phi {}^2(\text{Sin}3\phi +\text{Sin}5\phi +\text{Sin}7\phi +\text{Sin}9\phi +\text{\&c.})$.

Les 3.es... $-8\text{Sin}\phi {}^3(\text{Cos}4\phi +\text{Cos}6\phi +\text{Cos}8\phi +\text{Cos}10\phi +\text{\&c.})$.

&c.

et partant la serie, qu’on en a formé auparavant, sera

$2\text{Sin}\phi \text{Cos}2\phi +{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 4\text{Sin}\phi {}^2\text{Sin}3\phi -{\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot 8\text{Sin}\phi {}^3\cdot \text{Cos}4\phi -{\displaystyle \frac{1}{4}}\cdot 16\text{Sin}\phi {}^4\text{Sin}5\phi +\text{\&c.}$ &c.

dont la somme est $\frac{X-A}{x}=\frac{\text{Sin}(1+2x)-\text{Sin}[\phi ]}{x}$ dont la valeur en mettant $x=0$ est $2\phi \text{Cos}\phi$. Soit pour abreger $2\text{Sin}\phi =\alpha$ et on obtient la sommation suivante : $2\phi \text{Cos}\phi =\alpha \text{Cos}2\phi +{\displaystyle \frac{1}{2}}{\alpha }^2\text{Sin}3\phi -{\displaystyle \frac{1}{3}}{\alpha }^3\text{Cos}4\phi -{\displaystyle \frac{1}{4}}{\alpha }^4\text{Sin}5\phi +\text{\&c.}$ dont il seroit bien difficile de demontrer directement la verité.

Daignés recevoir les assurances de la profonde vénération, du sincère et respectueux dévoüement avec lequel j’ai l’honneur d’être Monsieur vôtre très humble & très obeissant serviteur

Nicolas Fuss.

St Petersbourg ce $\frac{27\text{Juillet}}{7\text{Août}}$ 1778

P. S. Dans ce moment je reviens de chés Mr Euler, qui m’a communiqué une démonstration directe de cette sommation, des plus élégantes, et memorable par un grand nombre d’artifices de calcul, qu’il a employé pour en venir à bout. Je regrette de ne pouvoir plus Vous en donner les details, qui assurement Vous feroit beaucoup de plaisir.