Jean Laurent GASSIER à CONDORCET - 25 janvier 1787 (Paris, Archives de l’Académie des sciences / pochette de la séance du 28 février 1787)

[1 r] Monsieur,

J’ai l’honneur de vous envoyer deux démonstrations, l’une de l’impossibilité de la quadrature du cercle ; et l’autre de la possibilité à ramener au triangle rectangle toute équation indéterminée du Second dégré. Ces demonstrations me paroissent si Simples, qu’il seroit peu étonnant qu’elles se trouvassent dans quelque livre de mathématiques : mais j’ai si peu de tems à donner à leur lecture, qu’il l’est encore moins que je ne les y aye pus [sic] trouvées. Votre amour pour les sciences est la seule excuse que j’aye de vous les avoir adressées pour en avoir votre jugement.

Je suis avec respect Monsieur Votre très humble et très obéissant Serviteur

Gassier Régent au Collége.

A Brignoles le 25 : janvier 1787.

Provence.

[1 v] La circonférence du cercle est incommensurable avec Son Diametre.

Soit Supposée $x$ une partie du diametre, je dis que quelque petite qu’elle Soit, elle ne sauroit mesurer la circonférence.

Pour que $x$ mesurât la circonference, il faudroit qu’il pût s’appliquer exactement Sur une partie de cette circonférence, se confondre avec elle, et lui étre égal, étant répété un certain nombre de fois. Si $x$ ne se confondoit pas avec les arcs mesurés, il formeroit à l’entour de la circonférence un périmetre plus ou moins grand qu’elle, Selon qu’il Seroit extérieur ou intérieur.

Soit $AB$ cette ligne $x$ Sur laquelle nous abaisserons la perpendiculaire $CD$ , et le rayon $CA$ . Le triangle rectangle $CAD$ donnera l’equation $\frac{1}{4} x x - A C^{2} - C D^{2}$ . Mais puis que $x$ ou $AB$ se confond avec la circonférence la perpendiculaire $CD$ est égale au rayon $CA$ , et l’equation devient $14 x x = 0$ ce qui Seroit absurde si l’on donnoit une valeur quelconque à $x$ . Il n’existe donc aucune ligne droite qui puisse mesurer la circonference.

Autre demonstration

Si $x$ pouvoit se confondre avec la circonférence, l’on pourroit tirer du centre plusieurs perpendiculaires Sur cette ligne $x$ , ce qui est absurde, il n’existe donc aucune ligne droite qui puisse se confondre avec la circonférence, ni par consequent aucune qui puisse la mesurer.

[2 r] La <circonférence> Surface du cercle étant égale a sa circonférence multipliéé par la moitié du rayon, il faudroit pour quarrer le cercle, prendre une moyenne proportionelle entre la moitié du rayon et la circonférence, or nous avons <vû [?]> vu que la circonférence ne peut se rapporter à aucune ligne droite, la quadrature du cercle est donc impossible.

Toute équation possible du Second dégré à deux indéterminées peut étre ramenée au triangle rectangle. Soit l’équation $a t t + b c t + d t u + ƒ u u + g h u + i k k = 0$ dans laquelle $t$ et $u$ sont les deux indéterminées, $a$ , $b$ , $c$ &c exprimant des grandeurs connues positives ou négatives faisons $t = x - \frac{b c - d u}{2 a}$ en substituant cette valeur de $t$ dans l’équation fondamentale nous aurons :

$(B) a x x - \frac{b b c c - 2 b c d u - d d u u}{4 a} + ƒ u u + g h u + i k k = 0$

Soient, pour simplifier, les quantités connues $ƒ - \frac{d d}{4 a} = m$ , & : $g h - \frac{2 b c d}{4 a} = p p$ : alors l’equation $(B)$ deviendra :

$(C) a x x + m u u + p p u + i k k - \frac{b b c c}{4 a} = 0$

faisons $u = y - \frac{p p}{2 m}$ . Substituant cette valeur de $u$ dans l’équation $C$ et divisant en meme tems par $a$ nous aurons

$(D) x^{2} + \frac{m y^{2}}{a} + \frac{i k k}{a} - \frac{b b c c}{4 a a} - \frac{p^{4}}{4 a m} = 0$ .

Les <d> trois derniers termes de cette equation $D$ , pouvant étre rendus égaux à un quarré $qq$ nous aurons pour équation finale

$x x + \frac{m y y}{a} + q q = 0$

équation, qui, si elle n’est pas absurde, se construira par un triangle rectangle.

Transcription