Transcription

[72 r] Ce 28. Juin 1778. Paris.

Permettez-moi, monsieur et trés illustre Confrere, de vous adresser dans ce paquet une lettre pour M. Fuss, qui contient une lettre de change sur la Hollande pour le paiement du prix.

J’ai recu le diplôme de l’academie de Petersbourg et je vous en fais de nouveau tous mes remercimens.

Je n’ai pas eu l’honeur de répondre a la derniere lettre de Monsieur votre pere, mais je prie mon illustre maitre de me le pardonner, je n’avoir [sic] rien à mander par ce que sa lettre etait elle même une reponse. Daignez vous charger de lui dire que je l’ai recue et que j’ai admiré la maniere ingénieuse dont il transforme <l’equation V> la formule $\frac{dx\sqrt{1-x^4}}{1+x^4}$^{1 Il faut lire $\frac{dx\sqrt{1+x^4}}{1-x^4}$.} . Cette méthode pourra conduire un jour a des choses très importantes ; et je désirerais qu’il put s’occuper de lui doner l’etendue dont je la crois susceptible.

Je m’occupe uniquement a présent de faire un ouvrage sur le calcul Intégral composé en grande partie de ce que j’ai publié mais ou je joindrai plusieurs nouvelles recherches. Il y aura une introduction où je donnerai plusieurs morceaux sur les series et d’autres objets étrangers au calcul Intégral mais qui peuvent s’y appliquer utilement. Mes recherches m’ont conduit a des series singulieres <tel> telle est par exemple celle-ci que je vous prie de vouloir bien montrer à mon maitre.

[72 v] Soit la serie infinie

$\ell 2-{\displaystyle \frac{1}{2}}\ell {\displaystyle \frac{3}{2^2}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\ell {\displaystyle \frac{4\cdot 2^3}{3^3}}-{\displaystyle \frac{1}{4}}\ell {\displaystyle \frac{5\cdot 3^6}{2^4{4}^4}}+{\displaystyle \frac{1}{5}}\ell {\displaystyle \frac{6\cdot 4^{10}\cdot 2^5}{5^5{3}^{10}}}\dots$

dont le terme general est

$\pm {\displaystyle \frac{1}{n}}\ell {\displaystyle \frac{n+1\cdot \overline{n-1}{}^{\frac{n\cdot n-1}{2}}\cdot \overline{n-3}{}^{\frac{n\cdot n-1\cdot n-2\cdot n-3}{2\cdot 3\cdot 4}}\dots }{n^n\cdot \overline{n-2}{}^{\frac{n\cdot n-1\cdot n-2}{2\cdot 3}}\dots }}$.

Je dis que la somme de cette serie est egale à l’unité.

Adieu, <mon [?] cher [?]> monsieur et trés illustre Confrere, daignez recevoir les assurances de mon respect et de <d> mon attachement, et vous charger de mes homages auprès [de] mon illustre maitre.