CONDORCET à Leonhard EULER - 10 juillet [1776] (Saint-Pétersbourg, Archives de l'Académie des sciences, I. Procès-verbaux de séances, correspondance scientifique, etc., chancellerie de l’Académie, F. 1, op. 3, n°62, l. 254-255)

[254 r] ce 10 Juillet

Voici, mon illustre et respectable maitre, <une> la démonstration d’une de vos propositions.

Soit ${1 + x}^{n} = 1 + A x + B x 2 \cdot \cdot \cdot$ ^{1Selon un usage encore fréquent à l’époque, Condorcet utilise ici un trait horizontal supérieur au lieu de parenthèses. Ce trait est parfois oublié (voir dans la suite de cette lettre), ce qui peut rendre certaines formules ambiguës.}

$1 + A^{2} + B^{2} + C^{2} + D^{2} + ... = \frac{2.6 . 10 ... 4 n - 2}{1.2 . 3 ... n}$ .

Si à la place de $n$ je mets $n + 1$ , et que je nome alors $Z$ la fonction proposée, il est clair que j’aurai

$Z + ∆ Z = Z . \frac{4 n + 2}{n + 1}$ ,

mais $A^{2}$ devient dans ce cas $A^{2} + 2 A Δ A + Δ A^{2}$ ,

$B^{2}$ devient $B^{2} + 2 B Δ B + Δ B^{2}$ , &c. et de plus $Δ A = 1$ , $Δ B = A$ et ainsi de suite.

On aura donc

$Z + Δ Z = 2 Z + 2 A + 2 A B + 2 B C$ &c.

d’ou reduisant $n + 1 A + A B + B C & c . = n \cdot 1 + A^{2} + B^{2}$ &c.

$A = n$ , $A B = A^{2} . \frac{n - 1}{2}$ , $B C = B^{2} . \frac{n - 2}{3}$ &c

donc $n^{2} + n + \frac{n + 1 . n - 1}{2} A^{2} + \frac{n + 1 . n - 2}{3} B^{2} + \frac{n + 1 . n - 3}{4} C^{2}$ &c

$= n + n A 2 + n B^{2} + n C^{2}$ &c

donc $n^{2 +} \frac{n^{2} - 2 n - 1}{2} A^{2} + \frac{n^{2} - 4 n - 2}{3} B^{2} + \frac{n^{2} - 6 n - 3}{4} C^{2}$ &c $= 0$ .

[254 v] Joignant ensemble les deux premiers termes à cause de $n^{2} = A^{2}$ , leur some sera $\frac{n^{2} - 2 n + 1}{2} A^{2} = 2 B^{2}$ .

Ajoutant cette somme au 3e terme il devient < $n^{2} + 6 n +$ > $\frac{n^{2} - 4 n + 4}{3} B^{2} = 3 C^{2}$ et ainsi de suite… |come il est aisé de voir.| <Lors> Or le dernier terme de la serie des $A$ , $B$ , $C$ , &c etant $1$ la somme de tous les termes de la serie ci-dessus |egalée a zero| hors le dernier sera egale a $n$ , mais le dernier terme de cette même serie est $- n$ <par [?] c [?]> donc la somme totale sera zéro. |Cette méthode peut s’appliquer à beaucoup de cas.|

Quant à la formule que vous intégrez par les arcs de cercle quoiqu’elle ne puisse être rendue rationelle par des transformations : je n’en ai point éte surpris. Je savais qu’il <etait> existait beaucoup de ces formules.

Je n’ai pas encore eu le tems d’examiner l’autre serie dont vous paraissez désirer une démonstration directe.

La maniere dont vous démontrez que $\int \sqrt{\partial x^{2} + \partial y^{2} = ℓ V}$ ne peut avoir lieu dans les courbes algébriques ne me paraît pas suffisante. J’avoue que celle que |je| vous ai proposée peut être défectueuse. Je voudrais trouver mieux mais je crois cela fort difficile. Mais votre observation est toujours très ingénieuse et ces sortes de raisonemens, s’ils ne donnent [pas^{2Ou point.}] de demonstrations rigoureuses [255 r] des <Phénome> Théorêmes, servent à faire trouver des enoncés très piquans et dont la demonstration peut ouvrir le champ à des recherches fort importantes.

L’impression de votre Theorie des vaisseaux avance beaucoup.

J’ai été assez heureux pour contribuer à faire donner à M. Lexell le titre de correspondant de notre academie, il honore ce titre par ses talens, et par son attachement pour vous qui doit le rendre respectable à tous ceux qui aiment le genie et la vertu.

Adieu mon cher et <respecta> illustre maitre.

Comptez à jamais sur mon respect et mon tendre dévouement.

Identification et lieu de conservation
IDC	1123
Titre	CONDORCET à Leonhard EULER - 10 juillet [1776] (Saint-Pétersbourg, Archives de l'Académie des sciences, I. Procès-verbaux de séances, correspondance scientifique, etc., chancellerie de l’Académie, F. 1, op. 3, n°62, l. 254-255)
Pour citer ce document	Condorcet à Euler, Leonhard - 10 juillet [1776] (Saint-Pétersbourg, Archives de l'Académie des sciences / I. Procès-verbaux de séances, correspondance scientifique, etc., chancellerie de l’Académie, F. 1, op. 3, n°62, l.
Document de référence	Oui
Statut éditorial	Lettre retenue
Nature du document	Original
Lieu de conservation	Saint-Pétersbourg, Archives de l'Académie des sciences
Cote	I. Procès-verbaux de séances, correspondance scientifique, etc., chancellerie de l’Académie, F. 1, op. 3, n°62, l. 254-255
Intervention(s)
Expéditeur(s) et destinataire(s)	CONDORCET [Expéditeur] Leonhard EULER [Destinataire]
Instrument d’écriture	Plume trempée dans l’encre noire
Signature de Condorcet	[néant]
Signature(s) (hormis Condorcet)	Non
Dates
Date indiquée par le scripteur	ce 10 Juillet
Datation	10 juillet [1776]
Date de tri	mercredi 10 juillet 1776
Travail de datation achevé	Oui
Lieux
Lieu de destination indiqué par le scripteur	Petersbourg
Lieu de destination rétabli ou normalisé	Saint-Pétersbourg
Lieu de destination indexé	Saint-Pétersbourg [Ville] (Russie)
Adresse	A Monsieur Monsieur Euler directeur de l'académie impériale &c A Pétersbourg
Marque(s) postale(s)
Marque(s) postale(s)	Non
Papier et cachet
Pliage d’expédition	Pli non cacheté
Cachet de cire	[néant]
Textes
Incipit	Voici, mon illustre et respectable maitre, La démonstration d'une de vos propositions.
Transcription [254 r] ce 10 Juillet Voici, mon illustre et respectable maitre, <une> la démonstration d’une de vos propositions. Soit ${1 + x}^{n} = 1 + A x + B x 2 \cdot \cdot \cdot$ ^{1Selon un usage encore fréquent à l’époque, Condorcet utilise ici un trait horizontal supérieur au lieu de parenthèses. Ce trait est parfois oublié (voir dans la suite de cette lettre), ce qui peut rendre certaines formules ambiguës.} $1 + A^{2} + B^{2} + C^{2} + D^{2} + ... = \frac{2.6 . 10 ... 4 n - 2}{1.2 . 3 ... n}$ . Si à la place de $n$ je mets $n + 1$ , et que je nome alors $Z$ la fonction proposée, il est clair que j’aurai $Z + ∆ Z = Z . \frac{4 n + 2}{n + 1}$ , mais $A^{2}$ devient dans ce cas $A^{2} + 2 A Δ A + Δ A^{2}$ , $B^{2}$ devient $B^{2} + 2 B Δ B + Δ B^{2}$ , &c. et de plus $Δ A = 1$ , $Δ B = A$ et ainsi de suite. On aura donc $Z + Δ Z = 2 Z + 2 A + 2 A B + 2 B C$ &c. d’ou reduisant $n + 1 A + A B + B C & c . = n \cdot 1 + A^{2} + B^{2}$ &c. mais $A = n$ , $A B = A^{2} . \frac{n - 1}{2}$ , $B C = B^{2} . \frac{n - 2}{3}$ &c donc $n^{2} + n + \frac{n + 1 . n - 1}{2} A^{2} + \frac{n + 1 . n - 2}{3} B^{2} + \frac{n + 1 . n - 3}{4} C^{2}$ &c $= n + n A 2 + n B^{2} + n C^{2}$ &c donc $n^{2 +} \frac{n^{2} - 2 n - 1}{2} A^{2} + \frac{n^{2} - 4 n - 2}{3} B^{2} + \frac{n^{2} - 6 n - 3}{4} C^{2}$ &c $= 0$ . [254 v] Joignant ensemble les deux premiers termes à cause de $n^{2} = A^{2}$ , leur some sera $\frac{n^{2} - 2 n + 1}{2} A^{2} = 2 B^{2}$ . Ajoutant cette somme au 3e terme il devient < $n^{2} + 6 n +$ > $\frac{n^{2} - 4 n + 4}{3} B^{2} = 3 C^{2}$ et ainsi de suite… \|come il est aisé de voir.\| <Lors> Or le dernier terme de la serie des $A$ , $B$ , $C$ , &c etant $1$ la somme de tous les termes de la serie ci-dessus \|egalée a zero\| hors le dernier sera egale a $n$ , mais le dernier terme de cette même serie est $- n$ <par [?] c [?]> donc la somme totale sera zéro. \|Cette méthode peut s’appliquer à beaucoup de cas.\| Quant à la formule que vous intégrez par les arcs de cercle quoiqu’elle ne puisse être rendue rationelle par des transformations : je n’en ai point éte surpris. Je savais qu’il <etait> existait beaucoup de ces formules. Je n’ai pas encore eu le tems d’examiner l’autre serie dont vous paraissez désirer une démonstration directe. La maniere dont vous démontrez que $\int \sqrt{\partial x^{2} + \partial y^{2} = ℓ V}$ ne peut avoir lieu dans les courbes algébriques ne me paraît pas suffisante. J’avoue que celle que \|je\| vous ai proposée peut être défectueuse. Je voudrais trouver mieux mais je crois cela fort difficile. Mais votre observation est toujours très ingénieuse et ces sortes de raisonemens, s’ils ne donnent [pas^{2Ou point.}] de demonstrations rigoureuses [255 r] des <Phénome> Théorêmes, servent à faire trouver des enoncés très piquans et dont la demonstration peut ouvrir le champ à des recherches fort importantes. L’impression de votre Theorie des vaisseaux avance beaucoup. J’ai été assez heureux pour contribuer à faire donner à M. Lexell le titre de correspondant de notre academie, il honore ce titre par ses talens, et par son attachement pour vous qui doit le rendre respectable à tous ceux qui aiment le genie et la vertu. Adieu mon cher et <respecta> illustre maitre. Comptez à jamais sur mon respect et mon tendre dévouement. [255 v] [Adresse (voir ci-dessus)]
Aspect(s) scientifique(s)	Oui

Transcription